Через блок радиусом R перекинут снизу однородный гибкий канат массой m и длиной l, прикрепленный к двум крюкам на потолке, расположенным на расстоянии 2R.
На оси блока висит груз, масса которого вместе с блоком М. Трение между канатом и блоком отсутствует. Найдите минимальную силу натяжения каната.

" Т.к. трение между канатом и блоком отсутствует, то сила натяжения каната в любой его точке на криволинейном участке, остается постоянной. " Это не очевидно, и нельзя сказать так только потому что отсутствует трение. Я понял твою мысль, ты хочешь сказать что если сила натяжения на криволинейном участке одинакова то любая сила натяжения на нем соответствует минимальной, а определить её можно там, где прямой участок каната переходит в дугу. Это похоже на правду, скорее всего так и есть.

И все же нельзя ли как нибудь по подробнее пояснить момент с постоянностью силы натяжения на криволинейном участке?

Понятно, что и со стороны каждого элементарного участка каната на блок по радиусу будет действовать сила, компенсирую радиальную силу, действующую на канат. Но, вроде бы, эти силы ни как не должны влиять на натяжение каната, так как трение равно нулю. В общем по этому вопросу у меня сплошной сумбур в голове.

Так что, извините за неполный ответ. Было бы интересно узнать истину в этом вопросе.

Минимальная сила натяжения каната будет в том месте, где прямой участок каната переходит в дугу радиусом R. Масса единичной длины каната Ме = m/l. Тогда масса каната на кривом участке mк = Mе* L. Здесь L - длина криволинейного участка. L = 2πR/2 = πR. И mк = (m/l)*πR = mπR/l. Полная масса, которая создает минимальное натяжение каната Мп= М + mк = М + mπR/l. Минимальная сила натяжения каната Fmin = Мп*g/2 = (M+mπR/l)*g/2.