1)
На гладкой горизонтальной плоскости лежит стержень массой M и
длиной L. В стержень ударяется шарик массой m, движущийся перпендику-
лярно стержню. На каком расстоянии l от середины стержня должен про-
изойти удар, чтобы угловая скорость вращения стержня была максималь-
ной? Удар считать абсолютно упругим.

2)
На гладкой горизонтальной поверхности лежит тонкий однородный
стержень длиной L. По одному из концов стержня наносят горизонтальный
удар в направлении, перпендикулярном стержню. На какое расстояние S
сместится центр масс стержня за время его полного оборота?

Спасибо большое!!!!

1)Запишем законы:сохранения испульса ЗСИ,сохранения энергии ЗСЭи сохранения момента импульса ЗСМИ :mvo = mv + MV     – ЗСИ, где vo, v и V – начальная скорость шарика и конечные скорости шарика и центра масс стержня;mvo²/2 = mv²/2 + MV²/2 + Jω²/2     – ЗСЭ, где ω – угловая скорость вращения стержня с моментом инерции J = ML²/12  ;mrvo = mrv + Jω     – ЗСМИ , где r – расстояние от середины стержня до точки удара;Из споставления ЗСМИ и ЗСМ:MV = Jω/r ;M²V² = J²ω²/r² ;MV² = J²ω²/[Mr²] ;Тогда можно переписать ЗСЭ и ЗСМИ так:m ( vo² – v² ) = Jω² ( 1 + J/[Mr²] ) ;     ЗСЭ *m ( vo – v ) = Jω/r ;     ЗСМИ *Разделим:vo + v = ωr ( 1 + J/[Mr²] ) ;    || * mСложим с ЗСМИ * :2mvo = mωr ( 1 + J/[Mr²] ) + Jω/r = ω ( mr ( 1 + J/[Mr²] ) + J/r ) == ω ( mr + ( 1 + m/M )J/r ) = ω ( mr + (M+m)L²/[12r] ) ;ω(r) = 2vo/[ r + (1+M/m)L²/(12r) ] ;Найдём экстремум ω(r) , решив уравнение: dω/dr = 0 ;dω/dr = 2vo ( (1+M/m)L²/[12r²] – 1 ) / ( r + (1+M/m)L²/[12r] )² = 0 ;Ясно, что при r² < (1+M/m)L²/12    :     ω(r) – растёт, а затем – падает.Итак: r(ωmax) = L/2 √[(1+M/m)/3] ) ;Что верно пока соотношения масс M ≤ 2m, и если M=2m то r(ωmax) = L/2,т.е. шарик при таком соотношени должен попасть в конец стержня.Если же M > 2m, то, пскольку r не может быть больше L/2, тозначит, r(ωmax) = L/2 ;ОТВЕТ:Если M ≤ 2m, то r(ωmax) = L/2 √[(1+M/m)/3] ) ;Если M ≥ 2m, то r(ωmax) = L/2 ;2)Из полученного импульса p легко найти скорость центра масс:p = mv;v = p/m ;Уравнение движения центра масс S(t) = vt = [p/m] t ;     [1]Стержень получает момент импульса относительно центар масс – pL/2, откуда легко найти угловую скорость ω :pL/2 = Jω     – где J = mL²/12 – момент инерции стержня относительно центра масс ;ω = pL/[2J] = 6p/[mL] ;Уравнение вращения φ(t) = ωt = [6p/mL] t ;     [2]Делим [1] на [2] и получаем:S(t)/φ(t) = [p/m]/[6p/mL] = L/6 ;S(φ) = Lφ/6 ;При полном обороте φ = 2π ;S(2π) = πL/3 ;ОТВЕТ: S(2π) = [π/3] L .