Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • 1. В аттракционе "Мертвая петля" небольшие кабины соединены друг с другом в сцепку
    длины L. Сцепка съезжает с горки, далее движется по горизонтальной поверхности и
    затем попадает в вертикальную петлю радиуса R. Какую наименьшую высоту должна
    иметь горка, чтобы сцепка могла благополучно проехать по этой петле? Считать, что
    длина сцепки L>2πR. Трением пренебречь.
    2. Чему равен наибольший КПД теплового двигателя, работающего по циклическому
    процессу, который в осях (P,V) имеет вид прямоугольника, стороны которого
    параллельны осям P и V. Рабочее тело одноатомный газ.

Ответы 1

  • 1. Пусть вся сцепка уже полностью заняла мёртвую петлю, поскольку потенциальная энергия не меняется, то все кабинки движутся с одной и той же скоростью по одному и тому же радиусу, а значит, имеют одинаковое центростремительное ускорение. Кабинки, находящиеся ниже центра петли вообще никак не могут упасть, поскольку опираются на рельсы, а вот кабинки, находящиеся выше центра мёртвой петли упасть в принципе могут. Найдём условие безотрывного движения отдельных кабинок. Рассмотрим только кабинки, находящиеся выше центра мёртвой петли, отстоящие от него на угол     \varphi .    Поперечная к петле сила, действующая на кабинку, складывается из силы нормальной реакции и тяжести: ma_n = N + mg \sin{ \varphi } \ ; a_n - g \sin{ \varphi } = \frac{N}{m} \geq 0 \ ; a_n \geq g \sin{ \varphi } \ ; \varphi \leq arcsin{ {a_n}{g} } \ ; Т.е. при углах, меньше некоторого предельного уровня – отрыва не происходит. А значит, если отрыв не происходит при угле     \varphi \approx 90^o ,    т.е. в самой верхней точке, то отрыв не произойдёт ни в одной точке.А если сцепка ещё не полностью заехала на петлю (или уже частично съехала), то тогда её потенциальная энергия не максимальна, а значит, кинетическая энергия больше минимальной, а скорость в любой точке больше, чем скорость полностью заехавшей сцепки. Так что если мы найдём условие безотрывного движения полностью заехавшей сцепки, то тогда и частично находящаяся на петле сцепка тоже гарантированно будет двигаться без отрыва:Если сцепка заехала на петлю полностью, то масса, находящаяся на петле выразится, как: m = \frac{ 2 \pi R }{L} M \ ,    где     M    – масса всей сцепки.Из симметрии ясно, что средняя высота подъёма полностью занявшей петлю сцепки, равна     R \ ,    а значит, потенциальная энергия возрастёт по сравнению с горизонтальным участком на: U_o = mgR = 2 \pi M g \frac{ R^2 }{L} \ ; В то же время, когда сцепка находилась на горке, её потенциальная энергия была равна: U_h = M g h \ ; Кинетическая энергия сцепки, полностью занявшей петлю, будет: W_o = U_h - U_o = Mgh - 2 \pi M g \frac{ R^2 }{L} = \frac{Mv^2}{2} \ ; gh - 2 \pi g \frac{ R^2 }{L} = \frac{v^2}{2} \ ; С другой стороны центростремительное ускорение в верхней точке: ma_n = mg + N \ ; a_n - g = \frac{N}{m} \geq 0 \ ; a_n \geq g \ ; \frac{v^2}{R} \geq g \ ; \frac{v^2}{2} \geq \frac{Rg}{2} \ ; А значит: gh - 2 \pi g \frac{ R^2 }{L} = \frac{v^2}{2} \geq \frac{Rg}{2} \ ; h \geq \frac{R}{2} + 2 \pi \frac{ R^2 }{L} \ ; ОТВЕТ:     h_{min} = R ( \frac{1}{2} + 2 \pi \frac{R}{L} ) \ ; 2. Обозначим минимальный объём как:     V \ , а максимальное давление, как:     p \ , а их изменения, как:     \Delta V    и     \Delta p \ , Нагревание потребуется только на изохоре при минимальном объёме, и на изобаре при максимальном давлении. Итого, на нагревание уйдёт: Q = C_V \cdot u \Delta T_V + C_P \cdot u \Delta T_p = \frac{3}{2} V \Delta p + \frac{5}{2} p \Delta V \ ; Работа, вырабатываемая в цикле: A = \Delta p \Delta V \ ; КПД цикла: \eta = \frac{A}{Q} = \frac{ \Delta p \Delta V }{ \frac{3}{2} V \Delta p + \frac{5}{2} p \Delta V } = 1/( \frac{3V}{ 2 \Delta V } + \frac{5p}{ 2 \Delta p } ) \ ; Для максимизации КПД, представляющего в данном случае дробь с числителем 1, нужно минимизировать знаменатель, т.е. каждое из его слагаемых. Первое слагаемое может стремиться к нулю, когда минимальное давление стремится к нулю. Второе слагаемое тем меньше, чем ближе разность давлений к максимальному давлению. А стало быть: \eta_{max} = \frac{ 1 }{ 5/2 } = 40 \% \ .

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years