Часы показывают 12 часов. Через сколько времени угол между часовой и минутной стрелками станет равным 180o в третий раз? Ответ укажите в минутах, округлив до десятых.

Найдем угловые скорости часовой и минутной стрелки.

Часовая стрелка поворачивается на 360 градусов за 12 часов, следовательно угловая скорость равна v1 = 360/(12*3600) =1/120 (одна стодвадцатая градус в секунду.

Минутная стрелка из аналогичных соображений пройдет v2 = 0,1 градуса в секунду.

Пока часовая стрелка повернется на угол а = t* v1,  (1) минутная должна пройти и этот угол а и еще 180 градусов, то есть t*v2 = 180+a (2). Подставив (1) в (2) и значения v1 и v2 получим, что это произойдет через время t=1963,6 секунд или 32,7 секунды.  

Ровно через такое же время часовая стрелка пройдет тот же угол а, а минутная угол 180+а и догонит часовую стрелку.  И снова, через такое же время часовая стрелка пройдет угол а, а минутная 180+а и во второй раз между ними угол станет равным 180 градусов. Это произойдет через 32,7*3 = 98,2 минуты. Еще через 2 таких промежутка, то есть через 32,7*2 = 65,5 минут часовая и минутная стрелка снова установятся на 180 градусов друг к другу.

Следовательно, в третий раз это произойдет через 163,6 минуты после начала эксперимента. Это примерно 2 часа 42 минуты.