Тело отпустили с высоты ℎ = 3 м от горизонтальной поверхности. При
каждом упругом ударе о поверхность тело отскакивает со скоростью в два
раза меньшей, чем до удара. Найдите путь, пройденный телом за длительное
время.

Для начала найдем скорость тела перед первым ударом используя закон сохранения энергии и приравняв потенциальную энергию тела на высоте h и кенетическую энергию тела перед ударом.mgh=mv₀²/2v₀²=2ghv₀=√(2gh)Поселе первого удара скорость стала v₁=v₀/2. Найдем высоту h₁, на которую поднимется тело после первого удара.mgh₁=mv₁²/2h₁=v₁²/2gЗначит путь между первым и вторым ударом 2h₁=v₁²/g=(v₀/2)²/g=v₀²/4gАналогично поселе второго удара скорость стала v₂=v₁/2. Найдем путь 2h₂, который пройдет тело между вторым и третьим ударами.2h₂=v₂²/g=v₁²/4g=v₀²/4²gПродолжая дальше мы получим 2h₃=v₀²/4³gПолучаемчто полный путь, пройденнй телом S= h+2h₁+2h₂+2h₃+...=h+v₀²/4g+v₀²/4²g+v₀²/4³g+...=h+(v₀²/g)(1/4+1/4²+1/4³+...)v₀²/g=2h1/4 , 1/4², 1/4³... убывающая геометрическая прогрессия в которой b₁=1/4 и q=1/4, ее сумма1/4+1/4²+1/4³+...=(1/4)/(1-1/4)=(1/4)/(3/4)=1/3S=h+2h/3=5h/3