Ахиллес и Черепаха бегали вокруг стадиона весьма необычным способом. Одновременно стартовав в одном направлении, Ахиллес всякий раз менял направление бега на противоположное, как только встречался с Черепахой. Известно, что за то время, пока Черепаха совершила ровно 1 круг, Ахиллес успел всего 2 раза встретиться с Черепахой, и одновременно с ней прибежал к стартовой позиции. Во сколько раз Ахиллес быстрее черепахи? Ответ округлите до сотых.

Обозначим S длину круга, v скорость Черепахи, w скорость Ахиллеса.Нам надо найти отношение w/v.Первый раз Ахиллес догнал Черепаху, когда она прошла x м.Ахиллес к этому моменту пробежал полный круг и еще x м, всего S+x м.t1 = x/v = (S+x)/wПосле встречи Ахиллес развернулся и побежал обратно. В момент второй встречи Черепаха оказалась в точке y м, то есть она прошла y-x м.Ахиллес пробежал x м обратно до старта и еще S-y м до встречи. Всего он пробежал S+x-y м.t2 = (y-x)/v = (S+x-y)/wТретий раз Черепаха закончила круг, S м. То есть прошла S-y м. Ахиллес развернулся и побежал туда же, что и Черепаха, причем обогнал ее со старта. Он пробежал S-y м до старта и еще круг, S м. Всего 2S-y м.t3 = (S-y)/v = (2S-y)/wВыразим w/v из всех трех уравнений{ w/v = (S+x)/x{ w/v = (S+x-y)/(y-x){ w/v = (2S-y)/(S-y)Приравняем правые части этих уравнений { (S+x)/x = (S+x-y)/(y-x){ (S+x)/x = (2S-y)/(S-y)Решаем пропорции{ (y-x)(S+x) = x(S+x-y){ (S+x)(S-y) = x(2S-y)Раскрываем скобки{ Sy - Sx + xy - x^2 = Sx + x^2 - xy{ S^2 + Sx - Sy - xy = 2Sx - xyПриводим подобные{ Sy - 2Sx = 2x^2 - 2xy{ S^2 = Sx + SyИз 2 уравнения S = x + y. Подставляем в 1 уравнениеS(y - 2x) = 2x^2 - 2xy(x + y)(y - 2x) = 2x^2 - 2xyxy + y^2 - 2x^2 - 2xy = 2x^2 - 2xy4x^2 - xy - y^2 = 0Делим все на y^24(x/y)^2 - (x/y) - 1 = 0D = 1 - 4*4*(-1) = 17(x/y)1 = (1 - √17)/8 ≈ -0,39 - не может быть, x и y разных знаков.(x/y)2 = (1 + √17)/8 ≈ 0,64 - подходитx = y*(1+√17)/8; S = x + y = y*(1+√17)/8 + y = y*(9+√17)/8Отношение скоростей Ахиллеса и Черепахи:w/v = (S + x)/x = S/x + 1 = [y(9+√17)/8] : [y(1+√17)/8] + 1 == (9+√17)/(1+√17) + 1 = (9+√17)(√17-1)/(17-1) + 1 = (9√17+17-9-√17)/16 + 1 == (8√17+8)/16 + 1 = (1+√17)/2 + 1 = (1 + √17 + 2)/2 = (3+√17)/2 ≈ 3,56