На Луне был произведен вертикальный выстрел из пистолета. Скорость пули при этом составляла 400 м/с. Определить максимальную высоту подъема пули над поверхностью Луны, если известно, что Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а ее радиус составляет 1740км. Радиус Земли 6400 км, g = 9,8 м/c^2. Ответ выразить в км с точностью до десятых.

Вычислим ускорение свободного падения на поверхности Луны

gл = G * Mл / Rл², т. к. Mл не дано выразим ее через параметры Земли

g₀ = 9,8 м/с²

g₀ = G * Mз / Rз² => Mз = g₀ * Rз² / G

gл = G * Mз / (81 * Rл²) = G * g₀ * Rз² / (G * 81 * Rл²) = g₀ * (Rз / (9 * Rл)²

gл = 9,8 м/с² * (6,4*10⁶ м / (9 * 1,74*10⁶ м)² ≈ 1,64 м/с²

При выстреле кинетическая энергия пули переходит в потенциальную энергию взаимодействия пули и Луны на max высоте  H. Кинетическая энергия пули на этой высоте становится равной нулю. Считаем потенциальную энергию на поверхности Луны равной 0.

ΔЕк = - (ΔЕп)

0 - m*v₀²/2 = - (Eп - 0)

Eп = - G * m * Mл / (Rл + H) = - G * m * Mл * Rл² / ((Rл + H) * Rл²)

Еп = - gл * m * Rл² / (Rл + H) - на выcоте H

m * v₀² / 2 = gл * m * Rл² / (Rл + H)

v₀² / 2 = gл * Rл² / (Rл + H)

Rл + H = 2 * gл * Rл² / v₀²

H = 2 * gл * Rл² / v₀² - Rл

H = 2 * 1,64 м/с² * (1,74*10⁶ м)² / (400 м/с)² - 1,74*10⁶ м ≈ 6,03*10⁷ м = 6,0*10⁴ км = 60000 км