Вывести формулу для напряженности поля шара радиуса R объемная плотность заряда которого линейно возрастает от центра поверхности (p=Аt)

Сначала рассмотрим область пространства вне шара: R ≤ r ≤ ∞, где r − расстояние от центра шара до выбранной точки пространства.

 В этой области заряженный шар создает точно такое же электрическое поле, как и точечный заряд, помещенный в центр шара. Поэтому напряженность поля на расстоянии r от шара равна

 Приращение потенциала для данного случая можно записать так:

где dr − малое изменение расстояния r. Просуммируем обе части данного уравнения:

После интегрирования получим

Для определения константы С1 используем граничное условие: при r → ∞ φ → 0. Отсюда следует, что С1 = 0, следовательно, распределение потенциала в области R ≤ r ≤ ∞ имеет вид

 Теперь рассмотрим область пространства внутри шара: 0 ≤ r ≤ R. В этом случае напряженность электрического поля определяется только зарядом внутри шара радиусом r и равна

Тогда

Для определения константы С2 воспользуемся граничным условием: при

это значение потенциала находится из полученного выше распределения. Отсюда получим, что

Окончательное выражение для распределения потенциала в области 0 ≤ r ≤ R имеет вид

 График зависимости φ(r) при 0 ≤ r ≤ ∞ изображен на рисунке.