В изолированном металлическом проводе есть свободные электроны, которые непрерывно движутся. Течёт ли по проводам ток в данном случае?

Электрический ток — это упорядоченное движение заряженных частиц. Так как свободные электроны при отсутствии воздействия внешнего поля движутся беспорядочно, под определения тока этот случай не подпадает.

Ответ. Нет, не течет.