почему в решении этой задачи такие уравнения? Объясните подробно

Просят искать все величины в ЦС (системе центра масс). Однако все исходные величины даны в системе связанной со сторонним наблюдателем, т.е. ЛС (лабораторной системе)

Найти радиус вектор описывающий положение ЦС в ЛС используют первую формулу на вашем листочке (только там должны быть вектора везде над r). Далее на листочке написан ненужный мусор, его можно опустить пока не дойдем до скорости ЦС.

Она получена дифференцированием первой формулы по времени, ее нужно найти.

Аккуратно введя систему XYZ и складывая взаимно перпендикулярные вектора находим .

У вас на листочке расписаны XYZ компоненты (проекции) вектора

Далее у вас на листике идет что-то странное и ненужное. Так в конечном счете выражается импульс системы частиц в ЛС, но вопрос задачи в другом (нужно найти все величины в ЦС)

В ЦС сумма импульсов частиц равна нулю,т.е. имульс системы есть 0. По факту нужно найти лишь импульс одной частицы, импульс второй будет точно такой же по модулю но противоположный по направлению.

Скорость в ЛС системе для первой частицы:

где - скорость первой частицы в ЦС. Отсюда ее и находим, ведь все остальные вектора известны.

А далее импульс первой частицы в ЦС есть , второй - такой же, но со знаком минус. Энергия первой частицы выражается через импульс как , второй - точно так же, ведь у них импульсы по модулю равны. Сумма этих энергий и будет энергией системы частиц в ЦС.