20 баллов за ответ
Задача 5 Человек массой 80 кг качается на качелях. Амплитуда его колебания 1 м. За 1 мин он совершает 15 колебаний. Найти кинетическую и потенциальную энергию через 1/12 периода.

Немного неоднозначная задача, нужно найти кинетическую и потенциальную энергию, хотя не сказано с какого именно положения нужно вести отсчет времени. Я выберу это положение сам.

И еще вопрос, что понимается под амплитудой колебаний? Пусть это будет максимальной высотой подъема тела (#)

По закону сохранения энергии

(*)

где

h - амплитуда, т.е. максимальная высота подъема качели

x(t) - высота качели как ф-я времени

x'(t) - соотв. скорость качели как ф-я времени

(таким образом в правой части имеем потенциальную и кинетическую энергии)

Поставим начальное условие x(0)=0, т.е. пусть в начальный момент времени человек находился в самой нижней точке с макс. кинетической энергией.

Решим ОДУ (*) методом разделения переменных, получим в качестве решения ф-ии

из этих ф-ий выберем ту что с плюсом, т.к. именно ее производная при обращается в нуль, что соответствует моменту остановки качели по достижении макс высоты. Найдем когда именно скорость равна нулю:

отсюда

Стоит отметить, что это решение описывает движение качели лишь на интервале времени от 0 до половины периода. Но этого нам достаточно, ибо требуется найти энергии при t = 1/12 T (где T-период)

Таким образом значение нам теперь известно. Тогда

Значит качели в момент времени были на высоте

Отсюда потенциальная энергия

(Дж)

И кинетическая энергия

(Дж)

(#) Задачу можно рассматривать и как задачу гармонического осциллятора, т.е. с потенциальной энергией вида заместо типичной В этом случае данная в условии задачи частота будет использоваться (чтоб найти омега) В то же время решение ОДУ будет посложнее, функция сведется к тангенсу или чему-то подобному.

Как именно интерпретировать задачу зависит от интерпретации слова амплитуда. Я выбрал самый простой случай и что-то решил, вполне возможно совсем не то, что хотели бы видеть авторы задачи.