Почему с помощью ненамагниченного стального предмета можно управлять плавающей по воде пробкой, в которую воткнута намагниченная булавка (не прикасаясь к бутылке?)

Потому что намагниченная булавка (магнит) намагничивает стальной предмет (он становится  тоже магнитом) - и два магнита взаимодействуют.