Батарея состоит из трех параллельно соединенных источников тока с ЭДС
ε = 12 В и с внутренним сопротивлением r = 2 Ом каждый. При каком сопротивлении внешней нагрузки полезная мощность равна 32 Вт ? Какую наибольшую мощность можно получить во внешней цепи?

При параллельном соединении n одинаковых элементов в батарею ЭДС не меняется, а внутреннее сопротивление уменьшается в n раз.  

Внутреннее сопротивление батареи равно r = (2/3) Ом.

Формула мощности внешней цепи P = I*U = I*(E - Ir) = IE - I²r.

Получили квадратное уравнение относительно I.

P - IE + I²r = 0. Подставим значения: I²r- IE + Р = 0.

(2/3)I² - 12I + 32 = 0.

Умножив на (3/2), получаем I² - 18I + 48 = 0.

Ищем дискриминант:  

D=(-18)^2-4*1*48=324-4*48=324-192=132;  

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:  

I_1=(√132-(-18))/(2*1)=(√132+18)/2=√132/2+18/2=√132/2+9 ≈ 14.7446

I_2=(-√132-(-18))/(2*1)=(-√132+18)/2=-√132/2+18/2=-√132/2+9 ≈ 3.2554.

Имеем 2 ответа: R = I²/P = 14.7446²/32 = 6,79382  Ом и

R = 3.2554²/32 = 0,3312 Ом.

Максимальная мощность во внешней цепи Pmax, равная Pmax = E²/4r достигается при R = r. При этом ток в цепи Imax = E/2r.

Pmax = E²/4r = 144/(4*(2/3)) = 48 Вт.