Металлический стержень длиной L вращается с угловой скоростью w вокруг

точки O, лежащей на оси стержня на расстоянии a от его конца. Однородное

магнитное поле B перпендикулярно плоскости вращения. Определить разность

потенциалов U между концами стержня.

Пусть концы стержня имеют заряды +q и -q, а его длина равна L. Тогда, если стержень вращается с угловой скоростью w вокруг точки O, то на каждый из зарядов действует сила Лоренца:

F = q(v x B),

где v - линейная скорость заряда, направленная перпендикулярно магнитному полю B.

В данном случае линейная скорость заряда v будет равна Lw/2 (так как каждый заряд находится на расстоянии L/2 от точки O), а направление силы будет зависеть от знака заряда: на положительный заряд действует сила, направленная по часовой стрелке, а на отрицательный - против часовой стрелки.

Таким образом, разность потенциалов между концами стержня можно найти как работу по перемещению заряда от одного конца стержня к другому против электрического поля, создаваемого другим зарядом, и силы Лоренца, действующей на заряд в магнитном поле:

U = W + q(v x B)L/2

Здесь W - работа по перемещению заряда от одного конца стержня к другому против электрического поля, создаваемого другим зарядом.

Для вычисления W воспользуемся формулой для напряженности электрического поля на оси диполя:

E = k * p / r^3,

где k - электростатическая постоянная, p - дипольный момент, r - расстояние от диполя до точки на оси.

Для нашего случая дипольный момент равен qL, а расстояние от диполя до конца стержня равно a, а до другого конца - (L-a). Тогда напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии x от конца стержня, будет равна:

E(x) = k * qL / (x-a)^2 - k * qL / (L-x+a)^2

Тогда работа по перемещению заряда от одного конца к другому будет равна:

W = ∫[a, L-a] E(x) dx

После интегрирования получим:

W = k * q^2 * L^2 * (3a^2 + (L-a)^2) / (2(L-a)^2 * a^2)

Теперь можем подставить все значения в исходную формулу для разности потенциалов:

U = k * q^2 * L^2 * (3a^2 + (L-a)^2) / (4(L-a)^2 * a^2) + qLwB/4

Ответ: разность потенциалов между концами стержня равна k * q^2 * L^2 * (3a^2 + (L-a)^2) / (4(L-a)^2 * a^2) + qLwB/4