По трубе (x>0) со скоростью v пропускается горячая вода. Пусть u - температура воды в трубе, v - температура стенок трубы, u0 - температура окружающей среды. Вывести уравнения для u и v, пренебрегая распределением температуры по сечению трубы и стенок и считая, что на границах вода-стенка и стенка-среда существует перепад температур и происходит теплообмен по закону Ньютона.

Уравнение для температуры воды в трубе можно вывести, используя закон сохранения теплоты. Рассмотрим бесконечно малый участок длины dx трубы с координатами x и x+dx. За время dt через этот участок пройдет объем воды, равный S*dx*v*dt, где S - площадь сечения трубы, v - скорость потока воды. Тепло, выделившееся на этом участке за время dt, равно:

dQ = cSdxvdt(udt - vdt - u0dt)

где c - удельная теплоемкость воды, u - температура воды в трубе, v - температура стенок трубы, u0 - температура окружающей среды.

Используя закон сохранения теплоты, можно записать:

dQ = -kSdxdt(du/dx)

где k - коэффициент теплопередачи.

Тогда:

cSvdt(udt - vdt - u0dt) = -kS(du/dx)dxdt

c(udt - vdt - u0dt) = -k(du/dx)

udt - vdt - u0dt = (-k/c)(du/dx)

Таким образом, уравнение для температуры воды в трубе имеет вид:

u(x,t) = u0 + (u1-u0)exp(-k/cx)

где u1 - температура воды на входе в трубу.

Уравнение для температуры стенок трубы можно вывести, используя закон теплопроводности. Так как мы пренебрегаем распределением температуры по толщине стенок трубы и считаем, что теплообмен происходит по закону Ньютона, то уравнение будет иметь следующий вид:

ρcSv(dv/dx) = hS(v-u)

где ρ - плотность материала стенок трубы, c - удельная теплоемкость материала, h - коэффициент теплообмена по закону Ньютона.

Тогда:

dv/dx = -(h/(ρc))(v-u)

Это уравнение можно решить численно, используя методы численного интегрирования, например, метод Эйлера или метод Рунге-Кутты.