Может ли оставаться неизменной потенциальная энергия движущегося в электрическом поле заряда

Может, если он движется по эквипотенциальной поверхности. По определению этой самой поверхности. В этом случае сила, действующая на заряд со стороны поля, всегда перпендикулярна скорости заряда, и такая сила работы не совершает.