Как изменится период колебаний пружинного маятника при увеличении жесткости пружины в 4 раза и уменьшении массы груза

Под пружинным маятником понимают систему из пружины, горизонтально закрепленной с одной стороны, и груза, который прикреплен к этой пружине с другой стороны. Груз в такой системе под действием силы упругости совершает колебания в горизонтальном направлении относительно своего положения равновесия. Характеристикой для таких колебаний является период.

В задаче требуется определить, как изменится период колебаний T, если массу груза m уменьшить в 4 раза:

m₁ = m / 4;

и, одновременно, коэффициент упругости k увеличить в 4 раза:

k₁ = 4 * k;

Период колебаний пружинного маятника

Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника. Это такие колебания, когда мы:

• пренебрегаем массой пружины, так как масса груза значительно ее превышает;
• вычисляем силу упругости в соответствии с законом Гука;
• считаем силу трения равной нулю;
• другие внешние силы также считаем равными нулю.

Согласно закону Гука, сила упругости прямо пропорциональна деформации пружины. Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом упругости и имеет размеренность:

н / м или кг / (сек)^2;

Колебания, совершаемые грузом под воздействием такой силы упругости, являются гармоническими, и их период равен:

T = 2 * π * √(m / k);

Вычисление периода колебаний

После изменения массы груза и жесткости пружины, период колебаний T₁ станет равным:

T₁ = 2 * π * √(m₁ / k₁);

Подставляя данные задачи, получим:

T₁ = 2 * π * √((m / 4) / (4 * k));

T₁ = 1/4 * 2 * π * √(m / k);

T₁ = 1/4 * T

Ответ: период колебаний уменьшится в 4 раза.

Период колебаний:T = 2Π * sqrt( m / k ), m — масса груза, k — жесткость пружины.До увеличения жесткости пружины в 4 раза и уменьшения массы в 4 раза:T1 = 2Π * sqrt( m1 / k1 ).После увеличения жесткости пружины в 4 раза и уменьшения массы в 4 раза:T2 = 2Π * sqrt( m2 / k2 ), m2 = 1/4 m1 = 0,25 m1, k2 = 4k1.Т2 /Т1 = 2Π * sqrt( m2 / k2 ) / 2Π * sqrt( m1 / k1 ) = sqrt( 0,25m1 / 4k1 ) / sqrt( m1 / k1 ) = sqrt( m1 / 16k1 ) / sqrt( m1 / k1 ) = 1/4.Ответ: Период колебаний уменьшится в 4 раза.