При взрыве камень разрывается на три части. Первый осколок массой 1 кг летит горизонтально со скоростью 12 м/с, а второй

m1 = 1 кг.

V1 = 12 м/с.

m2 = 2 кг.

V2 = 8 м/с.

V3 = 40 м/с.

m3 - ?

∠α - ?

До разрыва суммарный импульс камня был равен 0. Согласно закону сохранения импульса и после взрыва суммарный импульс частей камня должен равняться 0.

m1 *V1 + m2 *V2 + m3 *V3 = 0 - векторно.

Так как импульсы первого m1 *V1 и второго тела m2 *V2 перпендикулярны, то импульс третьего тела будет гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами  m1 *V1 и m2 *V2. 

По теореме Пифагора: m3 *V3 = √((m1 *V1)² + (m2 *V2)²).

m3 =  √((m1 *V1)² + (m2 *V2)²)/V3.

m3 =  √((1 кг *12 м/с)² + (2 кг *8 м/с)²)/40 м/с = 0,5 кг.   

ОХ: m1 *V1 - m3 *V3 *cosα = 0.

ОУ: m2 *V2  - m3 *V3 *sinα = 0.

cosα = m1 *V1 /m3 *V3.

∠α = arccos(m1 *V1 /m3 *V3).

∠α = arccos(1 кг *12 м/с /0,5 кг *40 м/с) = arccos0,6 = 53 °. 

Ответ: m3 = 0,5 кг, ∠α = 53 °.