Три положительных заряда величиной по 2 нКл каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы система находилась в равновесии? 

Каждый заряд q действует на другой такой же заряд с силой отталкивания F0, которую можно определить из закона Кулона:

F0=k|q|2a2(1)

Коэффициент пропорциональности k равен 9·109 Н·м2/Кл2.

Теперь найдём равнодействующую двух сил F, с которой два заряда действуют на третий. Для этого воспользуемся принципом независимости действия сил (принципом суперпозиции) и теоремой косинусов (смотри схему к решению).

F2=F20+F20–2F20⋅cos(180∘–2α)

Из тригонометрии известно, что:

cos(180∘–2α)=–cos2α

Тогда:

F2=F20+F20+2F20⋅cos2α

Также в равностороннем треугольнике угол α равен 30°, поэтому:

F2=F20+F20+2F20⋅cos60∘=3F20

F=3–√F0

Учитывая (1), имеем:

F=3–√k|q|2a2(2)

Помещенный в центр равностороннего треугольника заряд должен быть положительным, чтобы уравновесить силу F, при этом силу притяжения можно также найти из закона Кулона:

F=kQ|q|r2

Здесь r – расстояние от вершины равностороннего треугольника до его центра (центр – это точка пересечения медиан треугольника), его можно найти по такой формуле (за выводом формулы обратитесь к учебнику по математике):

r=3–√a3

В таком случае:

F=3kQ|q|a2(3)

Осталось только приравнять (2) и (3):

Q=|q|3–√

Посчитаем ответ к задаче:

Q=1,7⋅10–93–√=9,8⋅10–10Кл≈1нКл

Ответ: 1 нКл.