Почему без центрального провода ток не течет, а с ним течет?

Потому что сопротивления на нем нет.Да и по схеме видно, что дело в полярностях. Поменяй полярность на одном и будет течь и без центрального провода.

При отсутствии центрального провода ЭДС равны, только тогда ток будет равен 0. При появлении провода возникает ток в каждом контуре, а в центральном проводнике он складывается (первое правило Кирхгофа).

А ничего, что центральный провод - это одна из двух фаз, необходимых для работы?

Потому что без него у тебя минус с минусом соединены, а плюс с плюсом. А ток идёт только от плюса к минусу и никак иначе быть не может