Какую работу необходимо совершить для того чтобы раскрутить шарик массой m, висящий на нити длиной L, B горизонтальной плоскости так, чтобы нить при вращении составляла угол а с вертикалью?

Шарик, крутящийся на нити, имеет скорость v и центростремительное ускорение a=v^2/r (r=L\sin\alpha), направленное к оси вращения, которое обеспечивается горизонтальной проекцией силы натяжения нити T\sin\alpha. Вертикальная проекция в свою очередь компенсирует силу тяжести mg, поэтому T\cos\alpha = mg. Для горизонтальной оси имеем равенство

\displaystyle \frac{mv^2}{L\sin\alpha} = T\sin\alpha = mg\tan\alpha\\\\\frac{mv^2}{2} = \frac{1}{2}mgL\sin\alpha\tan\alpha

Кинетическую энергию шарика мы нашли. А потенциальная равна mgL(1-\cos\alpha), потому что шарик поднялся на L(1-\cos\alpha). В итоге полная работа, пошедшая на увеличении кинетической и потенциальной энергий равна

\displaystyle A = mgL\left(1+\frac{1}{2}\sin\alpha\tan\alpha-\cos\alpha\right)