ДАЮ 50 БАЛІВ!!! Тіло оберталося на краю колеса. Коли його пересунули на 10см до центра, його швидкість зменшилася в 2 рази. Знайти радіус кола.

Для визначення радіуса кола, на якому тіло оберталося, використаємо закон збереження моменту інерції. Момент інерції тіла обертання відносно центру обертання залежить від радіуса кола.Нехай \(I_1\) - початковий момент інерції тіла відносно центру обертання (кола), а \(I_2\) - момент інерції після того, як тіло було пересунуте на 10 см до центра.Коли тіло пересунуто, його момент інерції змінюється, але момент інерції має залишатися збереженим. Тобто, \(I_1 = I_2\).Момент інерції тіла, що обертається на колі, залежить від його маси та радіуса обертання. Позначимо масу тіла як \(m\), а радіуси кола до та після пересування як \(R_1\) та \(R_2\) відповідно.Отже, маємо:\[I_1 = m \cdot R_1^2\]\[I_2 = m \cdot R_2^2\]За умовою, коли тіло було пересунуте на 10 см до центра, його швидкість зменшилася в 2 рази. Швидкість обертання тіла визначається як \(v = \omega \cdot R\), де \(\omega\) - кутова швидкість.Якщо швидкість зменшилася в 2 рази, то \(v_1 = 2v_2\). Виразимо \(v_1\) і \(v_2\) через кутову швидкість і радіуси:\[v_1 = \omega \cdot R_1\]\[v_2 = \omega \cdot R_2\]Тепер виразимо \(v_1\) через \(v_2\), використовуючи умову:\[2v_2 = \omega \cdot R_1\]Також відомо, що \(v_1 = \frac{2\pi R_1}{T_1}\), де \(T_1\) - період обертання тіла до пересування. Аналогічно, \(v_2 = \frac{2\pi R_2}{T_2}\), де \(T_2\) - період обертання після пересування.Підставимо вирази для \(v_1\) і \(v_2\) у рівняння і використаємо умову:\[2\left(\frac{2\pi R_2}{T_2}\right) = \omega \cdot R_1\]Також знаємо, що \(T_1 = \frac{2\pi R_1}{v_1}\) і \(T_2 = \frac{2\pi R_2}{v_2}\). Підставимо їх:\[2\left(\frac{2\pi R_2}{\frac{2\pi R_2}{v_2}}\right) = \omega \cdot R_1\]Знищимо знаменники і спростимо:\[2(v_2) = \omega \cdot R_1\]Тепер ми маємо два вирази для швидкості \(\omega \cdot R_1\):\[2(v_2) = \omega \cdot R_1\]\[2\left(\frac{2\pi R_2}{T_2}\right) = \omega \cdot R_1\]Прирівнюючи їх один до одного, ми отримаємо:\[2(v_2) = 2\left(\frac{2\pi R_2}{T_2}\right)\]Знімаючи подвійні дужки і спрощуючи:\[v_2 = \frac{2\pi R_2}{T_2}\]Тепер ми маємо вираз для \(v_2\) в термінах \(R_2\) і \(T_2\).Ми також можемо виразити \(\omega\) з виразу \(v = \omega \cdot R\):\[\omega = \frac{v}{R}\]Підставимо цей вираз для \(\omega\) у вираз для \(v_2\):\[v_2 = \frac{2\pi R_2}{T_2} = \frac{2\pi}{T_2} \cdot R_2\]Тепер ми можемо порівняти вирази для \(v_2\), враховуючи умову:\[2v_2 = \omega \cdot R_1\]\[2\left(\frac{2\pi}{T_2} \cdot R_2\right) = \frac{v}{R_1} \cdot R_1\]Спростимо:\[2\left(\frac{2\pi}{T_2} \cdot R_2\right) = v\]\[4\pi R_2 = v \cdot T_2\]\[R_2 = \frac{v \cdot T_2}{4\pi}\]Тепер ми можемо виразити \(v\) відносно \(T_2\). Відомо,