Свинцовый и и алюминиевый шарики движутся навстречу друг другу и после абсолютно неупругого столкновения оста-навливаются. Радиус алюминиевого шарика в 2 раза больше радиуса свинцового шарика. Скорость какого шарика перед ударом была больше? Во сколько раз?

Ответ:

Пусть \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы свинцового и алюминиевого шариков соответственно, \( v_1 \) и \( v_2 \) - их скорости перед столкновением, \( u \) - общая скорость шариков после столкновения.

Так как столкновение абсолютно неупругое, можно использовать законы сохранения импульса и энергии:

1. **Сохранение импульса:**

\[ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot u \]

2. **Сохранение энергии:**

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \cdot u^2 \]

Так как радиус алюминиевого шарика в 2 раза больше радиуса свинцового (\( R_2 = 2R_1 \)), масса алюминиевого шарика (\( m_2 \)) в 8 раз больше массы свинцового (\( m_1 \)) (по формуле \( m = \frac{4}{3} \pi \rho R^3 \)).

Теперь можно выразить массы через радиусы и воспользоваться сохранением импульса:

\[ m_1 = \frac{4}{3} \pi \rho R_1^3 \]

\[ m_2 = \frac{4}{3} \pi \rho R_2^3 = \frac{4}{3} \pi \rho (2R_1)^3 = \frac{32}{3} \pi \rho R_1^3 \]

\[ m_2 = 8m_1 \]

Подставим это в уравнение сохранения импульса:

\[ m_1 \cdot v_1 + 8m_1 \cdot v_2 = (m_1 + 8m_1) \cdot u \]

\[ v_1 + 8v_2 = 9u \]

Теперь выразим \( u \) через \( v_1 \) и \( v_2 \):

\[ u = \frac{v_1 + 8v_2}{9} \]

Сравним скорости:

\[ \frac{u}{v_1} = \frac{v_1 + 8v_2}{9v_1} \]

\[ \frac{u}{v_1} = \frac{1}{9} + \frac{8v_2}{9v_1} \]

Так как \( u \) и \( v_1 \) - положительные величины, то \(\frac{8v_2}{9v_1}\) должно быть положительным:

\[ \frac{8v_2}{9v_1} > 0 \]

Следовательно, \( v_2 > 0 \). Таким образом, скорость алюминиевого шарика перед ударом была больше.