Очень срочно!!! Физика / Алгебра - векторы

жесть

**1. Момент силы относительно точки**

Момент силы F относительно точки B равен векторному произведению радиус-вектора r от точки B до точки A на вектор силы F:

```
M = r × F
```

Радиус-вектор от точки B до точки A равен вектору AB:

```
AB = B - A = (1;1;1) - (2;1;4) = (-1;0;-3)
```

Подставляя радиус-вектор и вектор силы в формулу для момента силы, получаем:

```
M = (-1;0;-3) × (1;1;4)
```

Рассчитываем векторное произведение:

```
M = (-3 * 4)i + (-1 * 1)j + (0 * 1)k = -12i - j
```

Квадрат модуля момента силы равен:

```
|M|^2 = |(-12i - j)|^2 = (-12)^2 + (-1)^2 = 145
```

Ответ:

```
M = {-12;-1;0}
|M|^2 = 145
```

**2. Смешанное произведение векторов**

Смешанное произведение векторов a, b и c равно:

```
a • b • c = (a × b) • c
```

Подставляем векторы a, b и c в формулу для смешанного произведения:

```
a • b • c = (5i + 5j) × (4i + 2j + k) • (i + 2j + k)
```

Рассчитываем векторное произведение:

```
(5i + 5j) × (4i + 2j + k) = (20i + 20k)
```

Подставляем векторное произведение в формулу для смешанного произведения:

```
a • b • c = (20i + 20k) • (i + 2j + k)
```

Рассчитываем скалярное произведение:


(20i + 20k) • (i + 2j + k) = 20i • i + 20i • 2j + 20i • k + 20k • i + 20k • 2j + 20k • k


```
(20i + 20k) • (i + 2j + k) = 20 + 40j + 0 + 20i + 40k + 0
```

```
(20i + 20k) • (i + 2j + k) = 40i + 80j + 40k
```

Ответ:

```
a • b • c = 40i + 80j + 40k
```

Скалярное произведение векторов a и b можно найти по формуле:

a • b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3 = 3 * 4 + 4 * (-1) + 1 * 3 = 12 - 4 + 3 = 11

Косинус угла между векторами a и b можно найти по формуле:

cos(θ) = (a • b) / (|a| * |b|)

|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2) = √(3^2 + 4^2 + 1^2) = √(9 + 16 + 1) = √26

|b| = √(4^2 + (-1)^2 + 3^2) = √(16 + 1 + 9) = √26

cos(θ) = 11 / (√26 * √26) = 11 / 26

Теперь найдем момент M силы F относительно точки B. Момент M можно найти по формуле:

M = r x F

где r - вектор от точки B до точки приложения силы A:

r = A - B = (2 - 1, 1 - 1, 4 - 1) = (1, 0, 3)

M = (1, 0, 3) x (1, 1, 4)

Вычислим векторное произведение:

M = (0 * 4 - 3 * 1, 3 * 1 - 1 * 4, 1 * 1 - 0 * 1) = (-3, -1, 1)

|М|^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + 1^2 = 9 + 1 + 1 = 11

Таким образом,

M = (-3, -1, 1)

|M|^2 = 11

Смешанное произведение a • b • c можно найти также по формуле:

a • b • c = a1 * (b2 * c3 - b3 * c2) + a2 * (b3 * c1 - b1 * c3) + a3 * (b1 * c2 - b2 * c1)

Подставим значения векторов:

a • b • c = (5 * (2 * 1 - k * 2) + 5 * (k * i - 4 * 1) + (i * 4 - 2 * 5)) = 10 - 10k - 20 + 5ki + 4 - 10 = 4 + 5ki - 10k

Таким образом, смешанное произведение a • b • c равно 4 + 5ki - 10k.