Цилиндр полностью находится в воде. Объем цилиндра равен V. Чему равен объем жидкости, вытесненной этим цилиндром? 

Объём сегмента шара рассчитывается по простенькой формуле (не надо никаких интегралов) : V =pi H²(R-H/3). Иными словами, равна объёму цилиндра, у которого радиус основания равен высоте сегмента, а высота равна радиусу шара, уменьшенному на треть высоты сегмента.