Однородный шар скатывается с наклонной плоскости с углом наклона 

α. Коэффициент трения покоя на плоскости равен 

µ. Коэффициент трения качения равен 0. Определите предельный угол α, при котором шар может скатываться без проскальзывания

Движение шара сложное. Оно оприсывается движением центра шара вниз по наклонной плоскости и вращением шара вокруг центра:

Пусть  m - масса шара, R - радиус шара, а - ускорение центра шара.

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр:Jo = 0.4mR²

На шар действует сила тяжести mg, приложенная к центру шара и направленная вертикально вниз, N - реакция плоскости, приложенная в точке контакта и направленная перпендикулярно плоскости вверх и сила трения сцепления Fтр, приложенная к точке контакта и направленная вдоль плоскости в сторону, противоположную движению.

Уравнения движения:

ma = mg·sinα - Fтр   (1)

Jo ·a/R = Fтр·R        (2)

Из (2) a = Fтр·R²/Jo

или a = Fтр·R²/0,4mR²

или

a = 2,5Fтр/m    (3)

Подставим (3) в (1)

m2,5Fтр/m = mg·sinα - Fтр

или

2,5Fтр = mg·sinα - Fтр

откуда

 Fтр = mg·sinα/3,5

Проскальзывания не будет, если сила трения сцепления не меньше силы трения скольжения, т.е  Fтр ≤ µN

N = mg·cosα

mg·sinα/3,5 ≤ µ·mg·cosα

tgα ≤ 3.5µ