Сопротивление гальванометра будем искать, приравнивая ток в цепи при первой схеме включения к току, протекающему через гальванометр при вторй схеме включения, поскольку по условию показания гальванометра остаются неизменными.В первой схеме включения r отсутствует, поэтому эквивалентное сопротивление определяется суммой сопротивлений резистора R1 и гальванометра. Ток в цепи определяем по закону Ома.

Во второй схеме включения резистор R2 соединен последовательно с гальванометром, зашунтированным резистором r.
}{R_2*r+R_2*R_g+r*R_g})
Напряжение на гальванометра равно ЭДС источнике минус падение напряжения на сопротивлении R1.
}{R_2*r+R_2*R_g+r*R_g}*R_2= \frac{E*(R_2*r+R_2*R_g)}{R_2*r+R_2*R_g+r*R_g} \\ U_g=E-\frac{E*(R_2*r+R_2*R_g)}{R_2*r+R_2*R_g+r*R_g}=E* \frac{R_2*r+R_2*R_g+r*R_g-R_2*r-R_2*R_g}{R_2*r+R_2*R_g+r*R_g} = \\ E* \frac{r*R_g}{R_2*r+R_2*R_g+r*R_g})
Ток, протекающий через гальванометр, определяется законом Ома.