На нити подвешен незаряженный металлический шарик. К нему снизу поднесли
положительно заряженную палочку. Изменится ли (и если да, то как) сила натяжения
нити?

Палочка притянет часть электронов с шарика, вследствие чего между шариков и палочкой возникнет кулоново взаимодействие (притяжение). Сила натяжения нити увеличится.