!!ДАЮ НОБЕЛЕВСКУЮ ПРЕМИЮ ЗА ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ!!
Шарик (радиус - r) скатывается по
желобу (радиус - R). Желоб неподвижен, шарик скатывается без
проскальзывания. Определить частоту колебаний (ω - ?). (Считается, что
первоначально шарик находился в равновесии, а потом его отводят на
некоторое расстояние, после чего и возникают колебательные движения.
Нужно определить частоту этих колебаний)
Только подробнее, пожалуйста!

Поднимаясь по желобу на высоту h шарик приобретает потенциальную энергиюW = mgh. При малых смещениях можно считать, что амплитуда колебаний по дуге желоба l равна проекции этой дуги на горизонталь X0. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом желоба R, амплитуды горизонтального смещения X0  и проекции крайнего положения шарика на вертикаль (R-h) следует:X0^2 + (R-h)^2 = R^2Отсюда получим: X0^2 = 2*R*h - h^2Учитывая, что при малых колебаниях h^2 << 2*R*hX0^2 = 2*R*hТаким образом, получаем выражение для h через амплитуду X0 при малых отклонениях от положения равновесия:h = X0^2/2RПотенциальная энергия, максимальная при крайнем положении шарика обретает вид:W = m*g*X0^2/2RТеперь получим значение максимальной кинетической энергии шарика (при прохождении положения равновесия). Она равна:T = m*V0^2/2 + I*Omega^2/2поскольку, коль шарик катится по жёлобу без проскалзывания, мы должны, помимо кин энергии поступательного движения шарика массы m, учитывать ещё и энергию вращения шарика с моментом инерции I и угловой скоростью вращения шарика вокруг его собственной оси Omega.При этом максимальная линейная скорость шарика V0 = Omega*r, где r = радиус шарика =>Omega = V0/rT = m*V0^2/2 + I*(V0/r)^2/2Если шарик совершает гармонические колебания по законуx(t) = X0*Sin(omega*t) то его скорость должна меняться по законуv(t) = x'(t) = omega*X0*Cos(omega*t)Таким образом, максимальная линейная скорость шарика (амплитуда скорости) равнаV0 = omega*X0, где omega - циклическая частота колебаний шарика.Выражение для максимальной кинетической энергии шарика принимает вид:T = m*(omega*X0)^2/2 + I*(omega*X0)^2/(2r^2).Поскольку момент инерции шарика радиуса r и массы m равен I = (2/5)mr^2, тоT = m*(omega*X0)^2/2 + (2/5)mr^2*(omega*X0)^2/(2r^2) = (7/10)m*(omega*X0)^2В колебательной системе максимальное значение потенциальной энергии W равно максимальной величине кинетической энергии T.(7/10)m*(omega*X0)^2 = m*g*X0^2/2Rотсюда, сокращая в обеих частях равенства m и X0 получаем:(7/5)*omega^2 = g/Rи окончательноomega^2 = (5/7)*(g/R)иomega = sqrt(5g/7R).Частота такого "маятника" niu = omega/2Piniu = sqrt(5g/7R)/2PiПериод T = 1/niu = 2Pi*sqrt(7R/5g)Уф.

смотри решение во вложении