В воду имеющую температуру 0°С, бросили кусок льда той же температуры. Будет ли лёд таять или вода замерзать? От чего это зависит?

Лёд будет таять в любом случае 

Зависит от энергетического баланса. Если к системе идет приток тепла, то лёд будет таять, если отток - вода будет замерзать. Если процесс адиабатический, то ничего не будет происходить (точнее лёд. будет немного подтаивать, вода переохлаждаться, но замерзать не будет).