В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 6, а площадь равна 9. Найти радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности суммы катетов и гипотенузы, делённой на два, т. е.r=(а+в-с):2, где а и в - катеты, с - гипотенуза. Полезно эту формулу запомнить, не раз еще пригодится.

--------------------------------------Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти стороны треугольника, а для этого нужна его высота. 

S=h*c:2

h=2S:c, где с - основание треугольника ( здесь - гипотенуза). 

18:6=3 см Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)Найдем эти отрезки:3²= x *(6-x) 9=6х-х²х²-6х+9=0Решив это квадратное уравнение, найдем два одинаковых корня =3Следовательно, отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны, и треугольник - равнобедренный. Высота равна 3, половина гипотенузы=3. Из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3 найдем боковую сторону ( катет исходного треугольника)х²=3²+3²=18х= √18=3√2Катеты равны 3√2----------Повторим: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности суммы катетов и гипотенузы, делённой на два, т. е.r=(а+в-с):2, где а и в - катеты, с - гипотенуза. r=(2*3√2-6):2=(6√2-6):2=6(√2-1):2=3(√2-1)