Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Известно,что AC=4, BD=5 и уголCAD=2углаBDA. Найдите длину средней линии трапеции.

В трапеции АВСD  диагональ ВD=5, АС=4, угол САD=2 ВDА. Из А проведем прямую АК  параллельно диагонали ВD до пересечения с продолжением ВС в точке К. Четырехугольник АВDА - параллелограмм, т.к. сторона АК равна и параллельна ВD, КВ|| АD.  КВ=АD ∠ СКА=∠ ВDА как противоположные углы параллелограмма. В треугольнике КСА угол КСА равен углу САD как накрестлежащие при параллельных КС и АD и секущей АС. ( Равные углы на рисунке обозначены одинаковыми цифрами). Из угла ВСА проведем биссектрису ВМ. Тогда ∠ КСМ=∠ СКМ, т.к. ∠ ВСА=2 ∠ ВDА. Треугольник КСМ - равнобедренный. ∠ СМА - внешний при вершине М и равен сумме равных углов при стороне КС, следовательно. он равен углу КСА. Треугольники КСА и СМА подобны по двум углам: ∠СКА=∠МСА,  ∠КСА=∠СМА ⇒ АК:АС=АС:АМ 5 АМ=16 АМ=3,2 СМ=КМ=5-3,2=1,8По теореме косинусов найдем косинус∠ СМА ( для удобства обозначим его α СА²=СМ²+АМ²-2*СМ*АМ*cos α 16=3,24+10,24-2*1,8*3,24 *cos α 16-13,48= - 11,52 cos α 2,52= -11,52 cos α cos ∠ СМА=cos α= - 0,21875   Косинусы смежных углов равны по величине, но имеют противоположные знаки.В Δ КМС  cos  угла КМС, смежного с углом СМА , равен 0,21875 КС равна КВ+ВС= сумме оснований трапеции. Найдем КС по т. косинусов. КС²=КМ²+СМ² -2 КМ*СМ*cos∠КМС КС²=3,.24+3,24-2*3,24*0,21875 КС²=5,0625 КС=2,25 Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Сумма оснований равна КС=2,25 Ср.лин. =2,25:2=1,125