Боковая сторона AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 36 и 39, а основание BC равна 12. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Дано: верхнее основание трапеции ВС = 12левая боковая сторона АВ = 36Правая боковая сторона СД = 39ДМ - биссектириса и АМ = ВМ = 18Найти: SтрапРешение:Дополнительное построение: через точку М, середину стороны АВ проводим параллельно основаниям среднюю линию трапеции МК: СК = КД = 19,5В ΔМКД  угол КМД = углу МДА (накрест лежащие при параллельных МК и АД и секущей МД). Но угол МДА = углу КДМ, т.к. МД - биссектриса.Таким образом, в ΔМКД два угла равны: угол КМД = углу КДМ, и ΔМКД -равнобедренный сравными сторонами МК = КД = 19,5.Зная среднюю линию МК = 19,5 и верхнее основание СД = 12 можно вычислить нижнее основание АДМК = (СД + АД)/219,5 = (12 + АД)/2АД = 27Сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин В и С трапеции опустим высоты СН = ВЕ = h на нижнее основание АД.Нижнее основание АД будет разделено на три отрезка ДН = х, ЕН = 12 и АЕ = 27 - 12 - х = 15 - хИз ΔСНД выразим высоту СН=hСН² = CД² - ДН²  или h² = 39² - х²Из ΔАВЕ выразим высоту ВЕ = hВЕ² = АВ² - АЕ² или Таким образом, в ΔМКД два угла равны: угол КМД = углу КДМ, и ΔМКД -равнобедренный сравными сторонами МК = КД = 19,5.Зная среднюю линию МК = 19,5 и верхнее основание СД = 12 можно вычислить нижнее основание АДМК = (СД + АД)/219,5 = (12 + АД)/2АД = 27Сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин В и С трапеции опустим высоты СН = ВЕ = h на нижнее основание АД.Нижнее основание АД будет разделено на три отрезка ДН = х, ЕН = 12 и АЕ = 27 - 12 - х = 15 - хИз ΔСНД выразим высоту СН = hСН² = CД² - ДН²  или h² = 39² - х²Из ΔАВЕ выразим высоту ВЕ = hВЕ² = АВ² - АЕ²  или h² = 36² - (15 - х)²Приравняем квадраты высот39² - х² = 36² - (15 - х)²1521 - х² = 1296 - 225 + 30х - х²30х = 450х = 15Итак высота трапеции из выражения h² = 39² - х² равнаh = √(1521 - 225) = √1296 = 36Площадь трапеции S = МК·h = 19.5 · 36 = 702