Внутри правильного треугольника АВС взята любая точка Р из которой на стороны ВС,АС,АВ опущены перпендикуляры РД,РЕ и РФ соответственно.найдите (РД+РЕ+РФ)/(ВД+СЕ+АФ).

Площадь равностороннего треугольника АВС равна Sabc= (√3/4)*а².С другой стороны, Sabc=Sabp+Sacp+Sbcp = (1/2)*AB*PF+(1/2)*BC*PD+(1/2)*AC*PE = (1/2)*a*(PF+PD+PE).  Следовательно,  (√3/4)*а² =  (1/2)*a*(PF+PD+PE).Итак, (PF+PD+PE)= (√3/2)*а.Попробуем найти, чему же равна сумма (BD+CE+AF).Применяя теорему Пифагора, имеем: BD²+CE²+AF² =(BP²-PD²)+ (СP²-PE²)+(AP²-PF²)  (1)DC²+AE²+FB² =(CP²-PD²)+ (AP²-PE²)+(BP²-PF²)  (2). Раскроем скобки и увидим, что оба выражения (1) и (2) РАВНЫ(равны значению: BP²+СP²+AP²-PF²-PD²-PE²).Сторона треугольника равна а. Тогда  DC²+AE²+FB² =(а-BD)²+(а-CE)²+(а-AF)²=a²-2a*BD+BD²+a²-2a*CE+CE²+a²-2a*AF+AF²=3a²-2a(BD+CE+AF)+(BD²+CE²+AF²).Отсюда 2a*(BD+CE+AF) = 3a²+(BD²+CE²+AF²) - (DC²+AE²+FB²).Но выше мы доказали, что   (BD²+CE²+AF²) = (DC²+AE²+FB²). Тогда 2a(BD+CE+AF)= 3a².Значит (BD+CE+AF)=(3/2)*а. (или равно полупериметру треугольника (3*а)/2).Отношение  (PF+PD+PE)/(BD+CE+AF)= (√3/2)*а/(3/2)*а =√3/3.