Докажите , что диаметр окружности , проходящий через середину хорды , перпендикулярен хорде .

Обозначим хорду AB, центр окружности О, точку пересечения хорды с диаметром D. Соединим концы хорды с центром окружности, получим равнобедренный треугольник ABO, AO=BO, так как AB и BO - радиусы одной окружности. В равнобедренном треугольнике OD является медианой ( так как по условию диаметр делит хорду пополам), следовательно и высотой, значит диаметр  перпендикулярен хорде.

Доказательство:

Смотри прикреплённый рисунок.

АВ - диаметр окружности с центром в точке О.

СK = DK - половинки хорды CD.

К - точка пересечения АВ и CD

Соединим концы хорды С и D с центром  окружности О.

ΔСОК = Δ DOK по 3-му признаку (СK = DK по условию, ОС = ОD - радиусы окружности, ОК - общая сторона)

Следовательно, ∠СКО = ∠DKO.

Эти углы в сумме составляют развёрнутый ∠СКD = 180°

Следовательно, ∠СКО = ∠DKO = 0,5 ∠СКD = 0,5 · 180° = 90°.

Доказано, что ОК ⊥ CD.

Так как  ОК является частью диаметра АВ, то АВ ⊥ CD, что и требовалось доказать.