35 баллов.

Одно из оснований равнобедренной трапеции равно 4. Найдите расстояние между точками касания с ее боковыми сторонами вписанной в трапецию окружности радиуса 4.

 Одно из оснований равнобедренной трапеции равно 4. Найдите расстояние между точками касания с ее боковыми сторонами вписанной в трапецию окружности радиуса 4.РЕШЕНИЕЯсно, что 4 равно меньшее основание - большее не может быть меньше диаметра вписанной окружности. В равнобедренная трапеция АВСД основание  ВС=4, r ω=4, ⇒  высота СН=2r=8, СР=СМ=2 по свойству отрезков касательных из одной точки.Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов трапеции, ⇒ угол СОД=полусумме этих углов и равен 90°ОР - высота  прямоугольного треугольника СОД и равна r=4Высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное отрезков, на которые она делит гипотенузу: ОР²=СР*РД16=2*РДРД=16:2=8 В прямоугольном треугольнике СНД высота СН=2r=8, гипотенуза СД=2+8=10, треугольник  СОД «египетский» и НД=6 ( можно проверить по т.Пифагора)КР|| основаниям трапеции, т.к. точки касания находятся на равном от них расстоянии.  Δ СЕР ≈ Δ СНД  по двум углам - прямому и общему острому. Тогда СР:СД=ЕР:НД 2:10=ЕР:610 ЕР=12ЕР=12:10=1,2 Половина КР= половине ВС +ЕР=2+1,2=3,2КР=3,2*2=6,4