Докажите, что векторы m=a+2b+3c, n=2a-b-c, p=3a-4b-5c компланарны. Обязательно с подробным объяснением. Если решите использовать определитель, то
объясните как им пользоваться. Но желательно использовать более простой метод.... Помогите....

Вы гений! Я тоже хочу видеть сразу

Тут на самом деле не надо быть гением, чтобы это увидеть :) Здесь можно делать грубой силой: ищем неизвестные числа x и y, такие что xm+yn=p. Это и означало бы компланарность. Т.е. по координатам получаем систему: x+2y=3, 2x-y=-4, 3x-y=-5. Двух уравнений достаточно для решения. получаем x=-1, y=2. Можно убедиться, что и третьему уравнению эти числа удовлетворяют, хотя в условии нам и так сказано, что они должны быть компланарны.

на самом деле я так и искал эти коэффициенты на листочке :)

Спасибо вам Большое!

Видно, что p=2n-m, т.к. 2(2a-b-c)-(a+2b+3c)=3a-4b-5c. Т.е. вектор p есть линейная комбинация векторов m и n, а это и означает, что они компланарны.