Помогите решить несложные задания по геометрии. ( 3 штуки). За большое кол-во пунктов. Будьте добры.

 

1) Дано: DABC - правильная пирамида. DH- высота, BM -  медиана треугольника ABC, угол DMH= 60 градусов, HK перпендикулярна DM. [tex]HK=\sqrt{3}[/tex]

Найти: V (DABC).

 

 

2) Дано: ABCDA1B1C1D1 - правильная призма,  [tex]AC \cap BD[/tex]=M,  угол С1MC=45 градусов, CH перпендикулярна С1M. [tex]CH=4\sqrt{2}[/tex]

Найти: V (ABCDA1B1C1D1)

 

3) Дано: MABCD - правильная пирамида, AM=8, MH - высота, угол MAH = 60 градусов.

1)Найти Sбок.

2) Найти V(MABCD)

3)Найти угол между (AMD) и (DMC)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

HK перпендикулярна DM

ΔКНМ - прямоугольный,  угол <DMH= 60 градусов

НМ =НК / sin<DMH=√3/√3/2=2

DH- высота

ΔDНМ - прямоугольный,  угол <DMH= 60 градусов

DH=HM*tg<DMH=2*tg60=2√3  <-----------------ВЫСОТА

DABC - правильная пирамида

основание - правильный треугольник  ΔАВС -все стороны равны- все углы 60 град

BM -  медиана треугольника ABC

HM=1/3*BM ;

BM=3*HM=3*2=6

стороны треугольника ABC  АВ=ВС=СА=ВМ/sin60=6/(√3/2)=12 / √3

площадь основания So=1/2*BM*AC=1/2*6*12/√3=36/√3

V (DABC) = 1/3*DH*So=1/3*2√3 *36/√3=24

ОТВЕТ 24

2)

 ABCDA1B1C1D1 - правильная призма <-----------четырехугольная

в основании правильный многоугольник -  квадрат

АС, BD - диагонали  =M   т.М  -точка пересечения

< С1МС=45  ;  <C1CM=90

треугольник  ΔС1МС - прямоугольный , равнобедренный

CM=CC1 =СH/sin<C1MC=4√2 / sin45 = 8

CC1=h=8 -высота призмы

СМ=8 - половина диагонали основания

диагональ основания d=АС=BD=2*СМ=16

сторона основания b=d/√2 = 16/√2

площадь основания  So=b^2 = (16/√2)^2=128

V (ABCDA1B1C1D1) = h*So = 8*128=1024

ОТВЕТ V=1024

3)

 MABCD - правильная четырехугольная пирамида

 боковое ребро пирамиды a=AM=BM=CM=DM=8

высота  h=MH=AM*sinMAH=8*√3/2=4√3

в основании  квадрат со стороной   b

диагонали квадрата  AC=BD=d

половина диагонали квадрата  d/2 =AM*cosMAH=8*1/2=4  ;

тогда d= 8

сторона квадрата/основания  b=d/√2 = 8/√2

площадь основания So=b^2=(8/√2)^2=32

объем V(MABCD) =  1/3*h*So=1/3*4√3*32=128√3 /3

апофема боковой грани 

H^2 = a^2-(b/2)^2 =8^2 -(8/√2 /2)^2=56

H=2√14

Площадь ОДНОЙ боковой грани  S1=1/2*H*b=1/2*2√14*8/√2=8√7

Sбок =4*S1 =4*8√7=32√7

боковые грани  (AMD) и (DMC)- это РАВНЫЕ равнобедренные треугольники

опустим высоты CK, AK  из вершин MCD,MAD -соответственно

линейный угол <CKA -  это угол между (AMD) и (DMC)

в равных треугольниках  соответствующие высоты равны  CK = AK 

площадь боковой грани  (AMD)  S1=1/2*AK*MD  ; MD=AM=8

тогда  AK= 2*S1/MD = 2*8√7 /8=2√7

т.к. CK = AK =2√7

треугольник  АКС - равнобедренный

по теореме косинусов

АС^2 = AK^2+CK^2 - 2AK*CK*cos<CKA

cos<CKA = [ АС^2 - (AK^2+CK^2) ] / [- 2AK*CK] <----подставим значения

cos<CKA = ( 8^2 - ((2√7)^2+(2√7)^2) ) / ((- 2)*2√7*2√7) =-1/7

<CKA = arccos (-1/7)= 1.714 рад =98.2 град =98 град

угол между (AMD) и (DMC)  =98 град

Объем пирамиды находят по формуле:V=1/3 h·S (основания)

S(основания)= площади равностороннего треугольника АВС.

Ни сторона, ни высота его пока не известны.

Центр правильной треугольной пирамиды - точка пересечения медиан. Этой точкой (Н) медианы делятся в отношении 2:1.Значит, медиана АМ=3 НМ

Но медиана в правильном треугольнике в то же время и высота. НМ=НК:(sin 60°)НМ= √3: √3/2НМ=2

АМ=2*3=6Высота АМ тр-ка АВС=6Сторона АВ =АМ:(sin 60°)

АВ=6:√3/2=12:√3=12√3:3=4√3

S АВС=АМ·АВ:2=1/2 ·6·4√3 =12√3

V=1/3 h·S V=1/3 h·12√3

h=DHDH=2 НK =2√3,    т.к. в тр-ке HKD НК противолежит углу 30°V=1/3 ·2√3·12√3=1/3·24·3=24