В параллелограмме ABCD известны стороны AB = a, BC = b и угол BAD = [tex]\alpha[/tex] Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.

Центр описанной вокруг треугольника окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров треугольника.

Треугольники АВD и BCD равны, т.к. параллелограмм делится диагональю ВD на два равных треугольника.

Радиусы описанных вокруг этих треугольников окружностей равны.

Проведем срединные перпендикуляры и найдем центры О и О1 описанных окружностей. Соединив центры О и О1 с вершинами В и D параллелограмма, получим ромб ВОDО1, т.к. его стороны - радиусы равных описанных окружностей, и диагонали пересекаются под прямым углом. Его диагональ ОО1- искомое расстояние между центрами окружностей.

Угол ВОD центральный ( находится между двумя радиусами окружности с центром О) и равен удвоенному углу α, который является вписанным в эту окружность.

Сторона ромба = R

R=a:2 sin α где а - диагональ BD параллелограмма α — угол ромба, лежащий против стороны BD.

Ход решения:1. Найти ВD по теореме косинусовНайти сторону ОВ=RНайти ОО1, диагональ ромба, - искомое расстояние -  по формулеd=a√(2-2·cos α)=a√(2+2·cosβ)