Сторона АВ параллелограмма АВСD лежит в плоскости АВМ, а сторона ВС образует с этой плоскостью угол φ. Какой угол образует с этой плоскостью диагональ ВD, если:

а) АВСD — квадрат;

б) АВСD — ромб, в котором B = 120°?

Определение: "Углом между плоскостью (АВМ) и не перпендикулярной ей прямой ВС называется угол между этой прямой и ее проекцией (ВN) на данную плоскость.

а) В случае, если АВСD - квадрат, то проекция ВD на плоскость АВМ - отрезок BM. BD=a√2 (как диагональ квадрата со стороной "а"). Сторона квадрата CD равна и параллельна АВ, следовательно CD параллельна плоскости АВМ => CD║MN и DM=CN. CN=a*Sinφ (из треугольника CBN).

В треугольнике BDM: Sin(<DBM)=DM/BD  => Sin(<DBM)= a*Sinφ/a√2.

Ответ: <DBM = Sinφ*√2/2.

б) В случае АВСD - ромб с углом В = 120°, BD=АВ=BC= а. DM=CN (так как DC параллельна АВ, а значит и плоскости АВМ).

CN=a*Sinφ (из треугольника CBN). => DM=a*Sinφ.

В треугольнике BDM: Sin(<DBM)=DM/BD  => Sin(<DBM)= a*Sinφ/a.

Ответ: <DBM = φ.