Гипотенуза прямоугольно треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть х - один из катетов, тогда y - второй катет. Используя теорему Пифагора, составим систему уравнений:

13=√(х²+у²)

13+2=√((х+4)²+у²)

13=√(х²+у²)

15=√((х+4)²+у²)

Возуведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

169=х²+у²

225=(х+4)²+у²

169=х²+у²

225=х²+8х+16+у²

Из первого уравнения выразим х:

169=х²+у²

х²=169-у²

х=√(169-у²)

Теперь подставим выражение √(169-у²) вместо х во второе уравнение:

225=х²+8х+16+у²

225=(√(169-у²))²+8(√(169-у²))+16+у²

225=169-у²+8√(169-у²)+16+у²

225-169-16=8√(169-у²)

40=8√(169-у²)

40:8=√(169-у²)

5=√(169-у²) - возведем обе части в квадрат.

25=169-у²

у²=169-25

у²=144

у=√144

у=12 см - первый катет.

Если у=12, то х=√(169-у²)=√(169-12²)=√(169-144)=√25=5 см - второй катет.

Ответ: катеты равны 5 и 12 см.