Длины сторон и диагоналей прямоугольника - натуральные числа.Докажите,что его площадь делится на 12.      

разобъём прямоугольник на два равных прямоугольных треугольников.

Рассмотрим один из них. по условию задачи получаем, что у данного треугольника все длины сторон являются натуральными числами, таким образом он является пифагоровым треугольником. В свойства пифагорова треугольника входит следующее:

один из его катетов является чётным и делится на 4, а второй катет кратен трём. отсюда следует, что площадь этого треугольника кратна 6, а так как в прямоугольнике два равных треугольника, то его площадь кратна 12. что и требовалось доказать.