как доказать что любой правильный четырёхугольник является квадратом

Правильный четырехугольник по определению это четырехугольник у которого все стороны равны, и все углы равны (т.е. равны 90 градусов)

так как все углы равны (т.е. равны 90 градусов), он по определению прямоугольник,

а прямоугольник у которого все стороны равны это по определению квадрат

Правильный четырёхугольник имеет ровные стороны и одинаковые углы! Квадрат - это правильный четырёхугольник, с ровними сторонами и углами!