Докажите, что центры тяжести четырёх
треугольников, вершины которых совпадают с тремя вершинами данного четырехугольника, являются вершинами четырехугольника, гомотетичного данному.

Прямо, как мысль катилась :)Для произвольной точки O и произвольного треугольника ABC с центром тяжести G OG = (OA + OB  +OC)/3; (жирным обозначены вектора);Пусть теперь O - центр тяжести всего четырехугольника. ТогдаOD = -(OA + OB + OC) = -3*OG;Легко видеть, что так же точно OA = -3*OG1; OB = -3*OG2; OC = -3*OG3;где G1 - центр тяжести CBD, G2 - ACD; G3 - ABD;То есть многоугольник GG1G2G3 получается из ABCD при пребразовании гомотетии с центром в точке O и коэффициентом k = -1/3;