отрезок соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника равен полусумме двух других его сторон. Докажите что эти последние противоположные стороны параллельны

Можно так:: если О - середина диагонали, то ОN и OM - средние линии и равны AD/2 и BC/2, значит MON - не треугольник а отрезок, т.е. O лежит на МN, а отсюда AD || MN || BC.

использовано неравенство треугольника. хорошее решение :)

Это проще всего делать с помощью векторов. Пусть четырехугольник ABCD, и отрезок MN соединяет середины AB (точка M) и CD (точка N)ТогдаMN = -AB/2 + AD - CD/2;MN = AB/2 + BC + CD/2;Если это сложить, получитсяMN = (AD + BC)/2;Разумеется, векторы AD и BC должны быть коллинеарны (параллельны), если выполнено такое же соотношение для длин векторов (то есть длина суммы векторов равна сумме длин векторов, если вектора параллельны).