На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М – середина стороны.
а) Докажите, что СМ =1/2DK.
б) Найдите расстояние от точки М до центров квадратов, если АС=6, ВС=10 и угол АСВ равен 30°.

Спасибо) через векторы действительно проще...

Выложенное решение само по себе важное - оно показывает связь таких построений со скрытыми инвариантами. В данном случае есть инвариантность относительно сдвигов и относительно поворотов, и этого достаточно, чтобы решить задачу без всяких формул. Ответ является следствием глубокой симметрии, которая присутствует в задаче, но как-бы скрыто, незаметно.

А как вы так сразу определили, что эта пространственная структура должна выглядеть именно так, или вы взяли одну инвариантность из многих?

сразу определил :) но я знал, что искать :)

вы же наверно понимаете, что это не я открыл :) есть целые разделы геометрии, которые занимаются периодическими конструкциями. Замощения плоскости - одна из известных штук.

Вся эта конструкция является частью замощения плоскости, представленного на рисунке. Замощение переходит "в себя" при повороте всей плоскости на 90° вокруг центра любого из квадратов. Все "белые" параллелограммы равны между собой. Отсюда следует а).б) Фигура, изображенная красным на рисунке - это квадрат. Поскольку, к примеру, две её стороны, выходящие из центра большего квадрата, равны и перпендикулярны (еще раз - одна переходит в другую при повороте на 90° вокруг их общей вершины). То же касается и двух сторон, у которых общая вершина - центр меньшего квадрата.Поэтому расстояние от M до центров квадратов одинаковое, и равно стороне красного квадрата. Проще всего найти диагональ этого квадрата - надо соединить центры большого и малого квадратов с точкой C и между собой. Получится треугольник O1O2C с углом O1CO2;∠O1CO2 = ∠ACB + ∠O1CA + ∠O2CB = 30° + 45° + 45° = 120°; и сторонами AO1 = 6√2/2 = 3√2; BO2 = 10√2/2 = 5√2;Отсюда (O1O2)^2 = (5√2)^2 + (3√2)^2 + 2*(5√2)*(3√2)*(1/2) = 2*49;O1O2 = 7√2; откуда MO1 = MO2 = 7;