в четырёхугольнике АВСД стороны ВС и СД равны, а стороны АВ и АД не равны. Диагональ АС, равная 8 см, является биссектрисой угла ВАД, равного 45. Найдите АВ+АД

т.к АС- биссектриса, то сделаем для простоты АВ=аАД=вугол ВАС=углу САД=по теореме косинусов из треуг. ВАС и САД

Если построить окружность с центром в C и радиусом R = CB = CD; то - поскольку стороны угла BAD симметричны относительно AC, эта окружность пересечет прямые AD и AB в двух точках КАЖДУЮ. Пусть это точки B и D1 - на AB, и В1 и D - на AD; Ясно, что AB = AB1 и AD = AD1; пусть для определенности AD > AB;Если теперь провести перпендикуляр из C на AD, то он попадет точно в середину хорды B1D; (пусть это точка M). Легко видеть, что AD + AB1 = 2*AM; (ну, AD = AM + MD; AB1 = AM - MB1 = AM - MD;...)Треугольник CMA - прямоугольный, гипотенуза AC = 8; ∠CAM = 45°/2;AM = AC*cos(45°/2) = 8√(2 + √2)/2; AB + AD = 8√(2 + √2);вычислять косинус 22,5° я тут не буду - вы легко справитесь, 2*(cos(22,5°))^2  - 1 = cos(45°);