Четырёхугольник ABCD,диагонали которого взаимно перпендикулярны,вписан в окружность.Перпендикуляры,опущенные на сторону AD из вершин B и C,пересекают диагонали AC и BD в точках E и F соответственно.Известно,что BC=1.Найти EF

Сделаем рисунок.Пусть перпендикуляр из В будет ВМ, из С - СНПерпендикуляры к одной прямой параллельны,  следовательно,ВМ и СН - параллельны.ВF и ЕС при них секущие, и∠ FBE=∠CFB ( на рисунке это углы ∠ 1=∠2), и FCE=BEC (∠ 3=∠ 4  рисунка) как накрестлежащие.Рассмотрим треугольники ВМD и ВОЕ.Они подобны, так как оба прямоугольные по условию и имеют общий  угол DBM (∠ 1 рисунка).Следовательно, и их вторые острые углы равны.∠ 5 = ∠ 3 треугольника ВОЕУгол ВСА и угол ВDА (∠ 6 и ∠ 5)  вписанные и опираются на одну и ту же дугу, которая стягивается хордой АВ. Следовательно, они равны (∠6 = ∠ 5). Угол ВDМ совпадает с углом ВDА и равен ВЕС (∠ 5 = ∠3 доказано выше). ⇒ ∠BDМ=∠ACH (∠5=∠ 4=∠3).Т.к.  угол ВСА=BDA, то угол ЕСB=ECF (∠5=∠ 6=∠ 4).Рассмотрим Δ АСН и Δ СОFОни прямоугольные, имеют общий угол АСН и потому подобны.Отсюда следует  равенство вторых острых углов:Угол САН=углу СFO (∠ 7 = ∠2).Вписанный ∠7 опирается на ту же дугу CD, что вписанный СBD (∠ 8 ) треугольника СВD, следовательно, угол СAH=углу СBF (∠7 = ∠8). Но ∠ 7= ∠2=∠ 1.⇒∠1=∠ 8. ⇒∠ 8=∠2В  Δ ВСF углы при основании ВF равны, СО ⊥ BF и делит ∠ ВСF на два равныхи является биссектрисой и  высотой Δ ВСF.Следовательно, Δ ВСF - равнобедренный. Но ЕО в треугольнике ВЕF - также высота и медиана,  и ВО=ОF.Этот треугольник также равнобедренный. ∠ 9=∠2=∠1, а ∠ 3= ∠10, т.к. ЕО высота и биссектриса равнобедренного треугольинка ВЕFТаким же образом треугольник ВСЕ и треугольник ЕFС равнобедренные и равны между собой. В результате всех этих доказательств мы имеем четырехугольник, в котором все   стороны равны, и этого достаточно для того, чтобы утверждать равенство   ЕF=ВС=1( Даны 2 рисунка - один с решением, другой - без) ------------bzs@