Окружность с центром О касается сторон AB, BC и АС
треугольника АВС в точках Р, К, Т соответственно. Если
∠АВС = 55°,∠ВАС = 85°, то ∠ТРК равен

Если О - центр вписанной окружности, то ∠KPO=∠KBO=55°/2 как углы вписанного в окружность 4-угольника PBKO. (PBKO - вписанный, т.к. в нем ∠P=∠К=∠90°, а значит их сумма 180°. Кроме того, BO - биссектриса угла B). Аналогично, ∠TPO=∠TAO=85°/2, как углы вписанного четырехугольника PATO. Значит ∠TPK=∠KPO+∠TPO=55°/2+85°/2=70°.