В треугольнике АВС высота СН, биссектриса СL и медиана СМ делят угол АСВ на 4 равных угла.
а) Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
б) Найдите длины высоты СН, биссектрисы CL и медианы СМ, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен R. P.S. биссектриса у меня получилась R√(2-√2), ответ не очень красивый... Опровергните или подтвердите его плз)

Ну, еще может быть так, что медиана вообще совпадает с высотой и биссектрисой, тогда угол C не обязательно прямой. Это вроде как исключение. Его нельзя рассматривать, как предельный случай, поэтому это ничего не опровергает.

Вот некое утверждение, если кто-то докажет, что оно ошибочно, я ему лично пожму руку :)))Пусть высота CH пересекает описанную окружность в точке K, биссектриса CL в точке Q, медиана CM в точке P. Дуги AK = KQ = QP = PB; Точки P и K симметричны относительно QM. Легко доказать (я тут этого делать не буду!), что прямая PM проходит через ортоцентр ABC. (то есть точку пересечения высот). А теперь - внимание! :)))))Для того, чтобы эта прямая прошла через вершину C, нужно, чтобы вершина C была бы ортоцентром треугольника ABC. :))) То есть этот треугольник - прямоугольный. (странное доказательство, и я жду возражений :) Получается, что, если медиана и высота образуют с биссектрисой равные углы, то треугольник обязательно прямоугольный. Это - очень сильное утверждение, мне не верится, что это на самом деле так).Чтобы, если это доказательство будет опровергнуто, решение не удалили, я приведу и другое, очень тупое доказательство.Если обозначить угол между высотой и биссектрисой x, то легко найтиAH = HL = h*tg(x); BH = h*tg(3x); MH = h*tg(2x); h = CH;из того, что CM - медиана, следуетtg(3x) - tg(2x) = tg(x) + tg(2x); sin(x)/(cos(3x)*cos(2x)) = sin(3x)/(cos(x)*cos(2x));sin(2x) = sin(6x);cos(4x)*cos(2x) = 0; единственное приемлемое решение 4x = π/2; то есть ∠ACB = π/2; треугольник прямоугольный.Его меньший острый угол равен x = π/8; Дальше все в этой задаче просто, CM = R; СL = AC = 2R*sin(π/8); CH = AC*cos(π/8) = R*sin(π/4) = R√2/2;вычислить значение z = sin(π/8) можно так1 - 2*(sin(π/8))^2 = √2/2;  sin(π/8) = √(2-√2)/2;